Abstrak

---

Sebaran terbagi tak hingga adalah keterbagian suatu sebaran menjadi sebaran-sebaran yang saling bebas dan identik, dimana sebaran penjumlahannya dinyatakan sebagai konvolusi dari sebaran tersebut. Keterbagian tak hingga suatu sebaran dapat ditentukan melalui proses konvolusi ataupun dengan menggunakan sifat fungsi pembangkit momen, akan tetapi cara ini memerlukan proses pembuktian yang sangat kompleks dan rumit serta tidak ada jaminan selalu dapat ditentukan untuk sebaran terbagi tak hingga, sehingga diperlukan alternatif lain yang lebih baik yaitu dengan menggunakan fungsi karakteristik yang bergerak dalam ruang kompleks dan selalu ada untuk setiap sebaran. Fungsi karakeristik yang diperoleh dengan menggunakan transformasi Fourier-Stieltjes terjamin eksistensinya untuk setiap sebaran, sehingga fungsi karakteristik dapat digunakan untuk memberikan konvolusi dan karakterisasi sebaran terbagi tak hingga melalui representasi kanoniknya yang dicirikan oleh ukuran Levy dan kelas sebaran yang dibentuknya. Representasi kanonik dari fungsi karakteristik untuk suatu sebaran terbagi tak hingga merupakan suatu karakterisasi yang dapat digunakan dalam menentukan sebaran pelimitan dari penjumlahan peubah-peubah acak yang identik dan saling bebas. Salah satu argumentasi yang paling kuat didasarkankan pada teorema limit pusat yaitu sebaran dari penjumlahan peubah-peubah acak yang identik dan saling bebas akan menuju sebaran normal dengan nilai tengah nol dan ragam satu. Akan tetapi untuk sebaran terbagi tak hingga yang merupakan sistem infinitesimal dari suatu peubah acak atau disebut sebagai triangular array akan mempunyai ekor yang berat dan menjulur serta tidak selalu simetrik, dimana hal ini tidak dapat didekati dengan baik oleh pelimitan ke sebaran normal ataupun transformasinya. Permasalahan seperti ini hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan perluasan teorema limit pusat dalam bentuk sebaran terbagi tak hingga. Pada pemodelan data-data finansial seringkali peubah acak yang didefinisikan tidak memenuhi asumsi kenormalan maka sangat penting untuk dikarakterisasi melalui sebaran pelimitannya yang dinyatakan sebagai kekonvergenan ke suatu sebaran terbagi tak hingga. Sehingga penelitian ini dirancang untuk mengkonstruksi teorema baru yang menyatakan syarat perlu dan cukup untuk suatu sistem peubah acak infinitesimal konvergen ke suatu sebaran terbagi tak hingga. Konvergensi ke sebaran terbagi tak hingga ini akan menjadi temuan penting sebagai dasar dalam memberikan sifatnya melalui fungsi karakteristik dalam bentuk representasi kanonik yang dicirikan oleh ukuran Levy. Pembentukan ukuran Levy dan sifat-sifatnya diharapkan akan menghasilkan suatu pengklasifikasian sebaran terbagi tak hingga berdasarkan kelas sebaran yang dibentuknya. Hasil kajian dari penelitian ini menargetkan tersusunnya artikel ilmiah yang akan dipublikasikan pada beberapa jurnal internasional serta diseminarkan dalam forum ilmiah internasional dengan tema konvergensi dan ukuran Levy pada kelas sebaran tebagi tak hingga serta aplikasinya. Temuan dan hasil kajian ini akan disusun menjadi bahasan utama untuk beberapa tesis mahasiswa magister matematika.